V tronco de cone com r = 0 vira qual sólido?

Cone completo, com V = πR²h/3.

Por que a fórmula do tronco de pirâmide tem √(A₁A₂)?

Vem da semelhança entre as pirâmides; é a média geométrica das áreas das duas bases.

Geometria Espacial — Troncos: volumes de tronco de pirâmide e de cone

Cheat Sheet em tópicos

Tronco de pirâmide: V = (h/3)(A₁ + A₂ + √(A₁·A₂)).
Tronco de cone: V = (πh/3)(R² + Rr + r²).
Ambos se obtêm pela diferença de dois sólidos semelhantes (sólido grande menos o corte).
As bases são polígonos paralelos (pirâmide) ou círculos (cone) de tamanhos diferentes.
Tronco não possui vértice — distingue-se da pirâmide ou cone completos.

Fórmula-chave

$$V_{\text{tp}} = \frac{h}{3}(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1 A_2})\quad;\quad V_{\text{tc}} = \frac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2)$$

Explicação detalhada

Visão geral

O tronco é a parte de uma pirâmide ou cone compreendida entre a base e um plano paralelo a ela. No ENEM, costuma aparecer em problemas de embalagem, recipientes cônicos ou silos. A estratégia é reconhecer o sólido, identificar as medidas e aplicar a fórmula correta.

Como obter as fórmulas

A dedução subtrai o volume do sólido pequeno (cortado) do volume do sólido grande original. Por semelhança, os raios e alturas se relacionam por proporção, resultando nas fórmulas compactas.

Tronco de pirâmide regular

Com bases poligonais regulares de áreas A₁ e A₂ e altura h: V = (h/3)(A₁ + A₂ + √(A₁·A₂)). O termo √(A₁·A₂) é a média geométrica das áreas.

Tronco de cone

Com raios R (maior) e r (menor) e altura h: V = (πh/3)(R² + Rr + r²). Quando r = 0, reduz-se ao cone completo.

Estratégia de prova

Identifique se é tronco de cone (bases circulares) ou de pirâmide (bases poligonais).
Anote h, R e r (ou A₁ e A₂).
Aplique a fórmula e simplifique.

Cuidado

Não confundir tronco com pirâmide/cone completo. Tronco não tem vértice — as duas bases são paralelas e distintas.

Interdisciplinaridade

Engenharia (calhas cônicas, funis industriais, reservatórios), Arquitetura (coberturas e telhados) e Física (recipientes para líquidos).

Prática ativa do tema

Use este bloco para testar retenção, identificar lacunas e revisar com intenção.

Prática guiada — tente responder antes de revelar:

1. Um funil tem diâmetro superior 10 cm, diâmetro inferior 4 cm e altura 12 cm. Calcule o volume.

R=5, r=2, h=12. V = π×12/3×(25+10+4) = 4π×39 = 156π ≈ 490 cm³.

2. Explique por que o tronco de pirâmide com A₂ = 0 se torna uma pirâmide completa.

Com A₂=0 e √(A₁×0)=0, V = (h/3)(A₁+0+0) = A₁h/3, que é a fórmula da pirâmide completa.

3. Como identificar que o problema pede tronco e não pirâmide?

O enunciado menciona dois níveis com medidas distintas e uma altura entre eles — sem vértice único.

Exercícios com gabarito oculto

1. Um tronco de cone tem R = 6 cm, r = 3 cm, h = 4 cm. Qual o volume?

2. As bases de um tronco de pirâmide têm áreas 100 cm² e 25 cm², h = 6 cm. Qual o volume?

3. O que diferencia tronco de cone de cone completo geometricamente?

Tronco de pirâmide × tronco de cone

Sólido	Fórmula do volume	Dados necessários
Tronco de pirâmide	V = h/3·(A₁+A₂+√(A₁A₂))	Áreas das bases e altura
Tronco de cone	V = πh/3·(R²+Rr+r²)	Raios das bases e altura

Caiu no ENEM

Troncos aparecem em contexto de embalagem, silos e recipientes geométricos; identifique as duas bases e a altura.