Polinômios: Divisão de Briot-Ruffini, Teorema do Resto e Teorema do Fator

Visão geral

Polinômios e seus teoremas aparecem em provas da Marinha (EAOF/EN), Exército (EsPCEx, EsAEx) e ENEM por combinarem álgebra com raciocínio estruturado. O método de Briot-Ruffini é uma ferramenta mecânica de divisão que todo candidato deve dominar: é rápido, visual e reduz erros de cálculo.

O que é um polinômio

Um polinômio em x de grau n é uma expressão da forma: aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀, onde aₙ ≠ 0. O grau é a maior potência com coeficiente não nulo. O coeficiente líder é aₙ. O termo independente é a₀.

Divisão de polinômios — notação

p(x) = d(x) · q(x) + r(x), onde:

• d(x) = divisor
• q(x) = quociente
• r(x) = resto (grau < grau do divisor)

Quando o divisor é (x − k), o resto r é uma constante.

Método de Briot-Ruffini

Usado para dividir p(x) por (x − k). Tableau:

1. Escreva os coeficientes de p(x) em ordem decrescente de grau (zeros para graus faltantes).
2. Escreva k à esquerda (o valor que zera o divisor).
3. Abaixe o primeiro coeficiente.
4. Multiplique por k, some com o próximo coeficiente. Repita até o final.
5. O último valor é o resto r. Os demais são os coeficientes do quociente q(x) de grau n−1.

Exemplo: p(x) = 2x³ − 3x² + x − 5, divisor (x − 3), k = 3
`
3 | 2 -3 1 -5

---------------
2 3 10 25
`
Quociente: 2x² + 3x + 10; Resto: 25

Verificação: p(3) = 2(27) − 3(9) + 3 − 5 = 54 − 27 + 3 − 5 = 25 ✓ (Teorema do Resto)

Teorema do Resto

p(k) = resto da divisão de p(x) por (x − k).
Uso direto: para calcular o resto sem fazer a divisão inteira, basta calcular p(k).

Exemplo: Qual o resto de p(x) = x⁴ − 2x + 7 dividido por (x − 2)?
p(2) = 16 − 4 + 7 = 19 → Resto = 19

Teorema do Fator

(x − k) é fator de p(x) ⟺ p(k) = 0 ⟺ k é raiz de p(x).
Uso: encontrar um fator (e factorizar p(x)) testando valores candidatos.

Raízes racionais — candidatas

Se p(x) tem coeficientes inteiros e k = p/q (fração irredutível) é raiz, então:

• p divide o termo independente a₀
• q divide o coeficiente líder aₙ

Isso reduz drasticamente o número de candidatos a testar.

Passo a passo para fatorar p(x)

1. Identifique os candidatos a raiz (±divisores de a₀ / divisores de aₙ).
2. Teste p(k) = 0 para cada candidato (use Briot-Ruffini ou substituição direta).
3. Quando p(k) = 0: (x − k) é fator. O quociente q(x) tem grau n−1.
4. Repita para q(x) até chegar a grau 1 ou 2.
5. Se grau 2: use fórmula de Bhaskara ou inspeção.

Erros clássicos

Erro 1: Esquecer zeros para graus faltantes no tableau (ex: p(x) = x³ − 5 tem coeficientes 1, 0, 0, −5).

Erro 2: Confundir k e −k. Se o divisor é (x + 3), então k = −3, não +3.

Erro 3: Aplicar o Teorema do Resto para divisores que não são da forma (x − k) — como (2x − 1), que exige k = 1/2.

Erro 4: Concluir que polinômio não tem raiz real apenas porque os candidatos racionais falharam — pode ter raízes irracionais.

Relações de Girard (Somas e Produtos das Raízes — Fórmulas de Vieta)

Para um polinômio \(a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_0 = 0\) com raízes \(x_1, x_2, \ldots, x_n\):

Grau 2 — \(ax^{2} + bx + c = 0\) (raízes \(x_1, x_2\)):

\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\]

Grau 3 — \(ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0\) (raízes \(x_1, x_2, x_3\)):

\[x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}\]
\[x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{c}{a}\]
\[x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -\frac{d}{a}\]

🎯 Recorrência EEAR/EsPCEx: 'A soma das raízes de \(2x^3 - 5x^2 + 3x - 1 = 0\) é?' → \(-(-5)/2 = 5/2\). Girard evita resolver a equação. Cobrado 1–2 vezes por edital.

Tabela: Teoremas Fundamentais de Polinômios